出品：科普中国
作者：柯棋瀚（中国科学院自然科学史研究所）
监制：中国科普博览
今天是冬至，北半球一年中白昼最短的日子。大早醒来看到这篇文章的你，也许还没能看到太阳从窗外升起。
熟悉天文学的读者可能知道，现代天文学是以春分作为一年的开始，两次春分之间的间隔就是一个回归年。
但在中国历法中，却将冬至作为一岁之始，一岁的长度（岁实）是两次冬至之间的间隔。在中国人的观念中，冬至的时候寒冷到达了极点，阴气盛极而衰，阳气开始生发，因此是生命的起点，于是把冬至作为一个太阳年的起始，这是中国天文学的独特之处。
今天，我们有各种各样的电子日历提醒我们各种节气的到来，但在古代，人们是怎么判定冬至的到来呢？
立杆为影
在冬至附近的一段时间，历家（即研究、制定历法的人）会用“圭（guī）表”测量正午影子的长度，以此确定冬至的确切时刻。立起来的杆称作“表”，表高为八尺（约1.8米），地面上测量影子长度的大尺子叫做“圭”（又叫量天尺），圭表朝向正北，每日正午的时候，太阳在正南，就可以测得一天中最短的影子。有了冬至附近数日的正午影长数据，便能算出冬至的确切时刻了。
圭表测量示意图
（图片来源：《中国古代天体测量学及天文仪器》图11-3）
冬至测影在中国有着非常悠久的历史。在中国古代天文学中，圭表测影最主要的作用是推定冬至时刻，因此观测精度就非常重要。
位于北京古观象台后院的圭表模型
（图片来源：北京古观象台官网）
而在古希腊天文学中，测影则主要是为了论证宇宙模型，因此古希腊人并不需要过分追求精度。这样的思路也影响到中世纪，圭表测影技术在欧洲一直没有得到很好的发展，这也使得欧洲在很长一段时间里都将一年的长度定为365.25天。
在阿拉伯世界，对太阳的观测主要靠日晷而非圭表，原因在于穆斯林每天需要做五次祷告，这就要求要有准确的时间。
实际上，如果从天文观测的角度来说，太阳直射点在冬至附近移动缓慢，好几天内可能都难以观察到日影长度的变化，而在春分秋分点附近移动最快，很容易就能观察到日影变化，选用春分来测量晷影、考算岁实是更好的选择。但很多事情并不是单一因素可以决定的，中国人对天道的认知在此时胜过了出于天文观测的考量。
冬至的具体时刻如何计算？
在测得冬至附近几个正午影长的数据之后，应该怎样计算冬至的具体时间呢？换句话说，怎样通过计算得知一年中影长最长的时刻呢？
《宋书·律历志》留下了一段祖冲之计算冬至时刻的方法，翻译成现代语言，参照示意图，就是：
大明五年十月十日（公元461年11月27日）（A），测量得到影长a=10.7750尺（约2.5米）；
十一月二十五日（公元462年1月11日）（B），影长b=10.8175尺；
十一月二十六日（C），影长c=10.7508尺。
祖冲之假设影长以冬至为中心对称，影长的变化是一条直线（当然，实际情况是类似抛物线的曲线，且并不以冬至为中心对称）。
a和b、c很接近，所以冬至日期在十月十日和十一月二十五、二十六日的中点，该年十月有30天，所以十月十日到十一月二十五日有45日，所以冬至在十一月三日。那么具体时刻是什么呢？
祖冲之这样算：“令后二日影相减,则一日差率也。倍之为法，前二日减，以百刻乘之为实，以法除实，得冬至加时在夜半后三十一刻。”即(b-a)/[(b-c)*2]=(10.8175-10.7750)/[(10.8175-10.7508)*2]≈0.3186，也就是三日零点加上0.3186日，1日=100刻，得到冬至在十一月三日31刻。
祖冲之测算冬至时刻法示意图
（图片来源：作者据《中国科学技术史（天文学卷）》图4-13重制）
祖冲之并没有解释为什么要这样算，我们可以按下面这样理解。设A为十月十日正午，B为十一月二十五日正午，C为十一月二十六日正午，a、b、c分别为这三日的正午影长。则必可在B、C之间找到影长也等于a的F点。祖冲之假设影长以冬至点为中心对称，作均匀线性变化。则BC之间影长每日变化b-c尺，每刻变化(b-c)/100尺。所以BF=(b-a)/(b-c)日=(b-a)/(b-c)×100刻。
又设D为AB的中点（即AD=DB），则D为十一月三日夜半。设E为AF中点，即E为冬至时刻，在十一月三日的某一刻。
由图可见，DE+EF=DB+BF，已知AD=DB，AE=EF，则DE+AE=AD+BF，因此BF=DE+(AE-AD)=2DE，所以DE=1/2BF=(b-a)/[(b-c)×2]。
**这就是中国古代推算冬至时刻的算法。**我们只要找出三个点A、B、C，其中A在冬至前，B、C是冬至后相邻的两天，且A的数值在B、C之间，那么冬至的日期就在AB中点的那天，具体时刻就是(B-A)/(B-C)/2。如果连续测量几年的冬至时刻，取平均值，就能算出一个回归年的长度。
分毫毕现
从祖冲之以来，冬至测影的算法至少就一直没变过，那么冬至时刻观测精度的提高是怎么实现的呢？
靠的是观测仪器的改进。
测影的表自古以来都是八尺高，到了元代，郭守敬将表加高到四丈（1丈=10尺，合9.81米），在大都、上都、阳城等全国五处地方都设立了高表，可惜留存至今的仅有位于阳城（今登封告成镇）的一处。阳城高表直接用砖石修造的观星台来代替铜表，这样做的好处是节省费用，省时省工。
台顶架了一条横梁，横梁和下方的直壁留有一些空隙。圭则直接躺在地上，由水槽来保证水平。正午阳光穿过横梁，在圭上投下一道阴影，这就是影子的长度。影子相较以前的测量方法更长，因此测量就会更加精确。
位于登封告成镇的郭守敬观星台
（图片来源：大河网）
有一个小细节值得注意。新表的长度（四丈）是旧表的五倍（八尺）。为什么设计成五倍，而不是四倍或者六倍呢？
在中国古代，最小长度单位是毫，约等于现在的0.024毫米；那么五毫就相当于0.12毫米（0.024*5=0.12mm）。
郭守敬希望“毫厘差异分别”，也就是影长要能够精确到一毫（0.024毫米），但是肉眼能够识别的最小长度大约是0.1毫米，在传统的八尺表下无法实现这样的读数。若将圭表放大五倍，就能读取最小五毫（1.2毫米）的数据，折算成八尺表，就是一毫。这是郭守敬选择四丈高表的原因。
但是还有一个问题是，当表的长度增加之后，影子就会变得模糊。我们在生活中也能感受得到，太阳底下，自己的影子边缘似乎很柔和，一点也不分明。
为解决这个问题，郭守敬发明了“影符”，实际上就是一个倾斜着的有一个小孔的铜板。
将影符放在量天尺上影端虚影处,使得太阳、横梁、小孔呈一条直线，光线透过小孔，在量天尺上投一下个小光斑，横梁的阴影在光斑上显现出一道米粒大小的阴影，边角分明，微调影符位置，使得阴影正好处在光斑的中间，这样就可以读到准确的数据。这正是利用的小孔成像原理。
复原铜制影符
（图片来源：肖尧《登封四丈高表与圭表测影》）
通过这两项改进，再加上连续数年的不懈观测，以及古代的观测记录，郭守敬测量出了自古以来最准确的回归年数值：365.2425日，与当时的精确数值365.2422日相比，误差只有26s。巧合的是，我们现在使用的格里高利历一年的长度也是365.2425日。
贯通古今的理想
冬至测影在中国有着非常悠久的历史。传说冬至测影从三千年前的周公就开始了，但真正的起点应该更早，部落时代的人们可能就已经会测量日影了。而留存至今最早的有明确数据的记载，是上文祖冲之的观测结果。
此后，历代历家测量了六组数据，得出六个可靠的冬至时刻。在祖冲之测量冬至日的817年之后，郭守敬也接过了接力棒，进行了自古以来最准确的测量。
郭守敬在《授时历议》中说，将这六组数据，取相距日数，用相距年数来除，就能得到相应那段时间的回归年长度，用祖冲之测影（公元461年）到他自己测影（公元1278年）的日数除以年数，得到每年长度为365.2425日。
他具体是怎么算的呢？郭守敬也没有给出解释，我们可以自己来算算。
上文已知，祖冲之推算出的461年冬至是十一月三日3186分，郭守敬测算出来的1278年冬至是十一月二十九日未初三刻，换算成万分制就是5750分，两次测影相隔298403日、817年。用日数除以年数，(298403.5750-0.3186)/817=365.242664，和郭守敬说的365.2425略有差距，这说明他应该还考虑了其他多方面因素。
数百年测量的价值还在于极小的误差。在计算回归年长度时，即使我们把具体时刻都去掉，只保留整数日，298403/817=354.242350，这比365.2425更符合当时的理论值。也就是说，在这么长的时间跨度中，我们只要知道冬至是在哪一天，就能算出非常精密的回归年长度。这正是这项超长期观测的意义所在。
结语
古代历家相信，天道流转恒常不变，历法的追求就是尽量吻合天道。因此在制定历法时，历家一方面自己测算当时的影长，一方面又要利用古代的天象记录，把尽可能多的数据纳入自己的历法之中，这样才能下可推今，上可考古。古代天文记录不仅有冬至时刻（用来测定一岁起始、测算回归年），还有中星记录（用来计算岁差）、日月食记录等等，这些记录都是在制作历法时需要考虑到的。不过，受限于天象记录的模糊性以及历法技术本身的水平，还是有相当一部分古代记录难以符合历法，在预测日食时也不时失败，历家虽然尽量扩大“历数之常”的范围，但也对“天道之变”无可奈何。昭明而又难测的天道一直高悬在历家头顶，敬天法古的精神同样在历法中流淌着。
参考文献：
1.沈约《宋书·律历志下》，北京：中华书局，2018年
2.宋濂《元史·历志一》，北京：中华书局，1976年
3.肖尧《登封四丈高表与圭表测影》，《自然科学博物馆研究》2020年第4期
4.王玉民《冬至圭表测影新探》，《中国科技史杂志》2013年第4期
5.陈美东《中国科学技术史（天文学卷）》，北京：科学出版社，2003年，页269—270
6.吴守贤、全和钧主编《中国古代天体测量学及天文仪器》，北京：中国科学技术出版社，2013年，页376
7.王雨桐《汉唐间的经学、历数与古史年代建构》，北京大学中国语言文学系博士论文，2023年
8.古代是怎么算出来一年 365 天的？-知乎：三种不同的红色的回答
9.有哪些需要几代人才能完成的科学实验？-知乎：尞祡的回答
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